"ELEKTROnet, VI. évf. 1. szám,1997. február"

Hogyan mûködik
a "reciprok, interpoláló" frekvenciamérõ ?

A címben feltett kérdést a méréstechnikai gyakorlat, az "igény" oldal praktikusabb formában veti fel, nevezetesen: hogyan mérhetünk "9 digit/sec" (vagy még jobb) felbontással frekvenciát?
Az ilyen - néha kétkedéssel (1) fogadott - specifikációt teljesítõ mérõeszközök egyik lehetséges struktúrális felépítésérõl, a "technikai" oldalról van ugyanis szó (túllépve a mai jelszavakon, mint "Connect and Go" és ne törõdj a részletekkel).

(1) A frekvencia hagyományos definíciója a szinusz függvényhez, a mechanikából jól ismert harmónikus mozgáshoz kapcsolódik: f gyakorisággal, vagyis  w = 2p.f egyenletes szögsebességgel forgó test vetületének idõfüggvényes u(t) = r. cos(w.t).  A periódikus változásnak lényeges paramétere a frekvencia.

Hasonlóan, szinuszosan váltakozó villamos jel esetén az  f  frekvencia mérõszámát az idõegység alatt fellépõ oszcillációk száma adja. (Ennek mértékegysége: Df = 1 / t0 [Hz], ha a választott idõegység: t0 [sec].)
A frekvencia automatikus mérését az teszi lehetõvé, hogy az oszcillációk száma egyértelmûen hozzáköthetõ a jól detektálható egyirányú null-átmenetekhez. Általánosabban: egy kijelölt szint adott irányú jel-átmetszéseivel értelmezett "események"hez. Teljes periódusonként ugyanis egy és csakis egy ilyen esemény lehet.
A jel-eseményeknek ismert ideig tartó számlálása tehát  "közvetlenül" méri (2) az ismeretlen frekvenciát. Az elvet realizáló eszköz (az ún. frequency counter, vagy röviden: counter) felépítése is egyszerû: jelkondícionálás (= esemény generálás, vagyis számlálható impulzusok elõállítása) után kapuzott esemény-számlálás (= akkumulálás) adja közvetlenül a mérõszámot. (A cikknek nem témája az esemény generálás "mûvészete".)

A frekvencia értékét természetesen az egyirányú null-átmenetek idõtávolságának, azaz a T periódusidõnek a reciproka is egyértelmûen jellemzi: f = 1/T. De ebben a mûvelet-láncban már numerikus adatkezelés is van! Elõször ugyanis a periódusidõ nagyságát kell megismerni (mérni!), majd ebbõl a "nyers" adatból számítható (manuálisan vagy automatikusan) a kívánt eredmény.
Idõ mérésére ugyancsak  "közvetlenül"  alkalmas a számlálás, mégpedig: ismert( f0) gyakoriságú eseményeket kell összegezni a mérendõ idõ alatt (ún. timer mérõeszköz; a mértékegység: D T = 1/f0 ). Megjegyzendõ, hogy javul a felbontás és a pontosság, ha egyetlen periódus helyett n (³ 1, egész) számú, egymást követõ periódus idõtartamát mérjük. Megnevezése: átlagperiódusidõ mérés, és a szóhasználat valóban fedi a lényeget (lásd alább).

A kétféle lehetõséget szokásosan egyetlen "univerzális" mérõeszköz tartalmazza (az ún. frequency counter / timer, vagy röviden: counter / timer).

(2)  Ha a frekvencia idõben változhat, és a gyakorlati esetek többségében erre kell felkészülnünk, "újra kell értelmezni" a fenti eljárások eredményeit. Ebben a pillanatnyi frekvencia fogalmának bevezetése (3) segít, mégha a jelzõ az elsõ pillanatban paradoxnak is tûnik.

Definíció szerint, a pillanatnyi frekvencia a fázisváltozással arányos:

és 2p [rad] fázisváltozás jelent egy teljes periódust. [A szinuszos jel argumentumát (fázisát) behelyettesítve, azonnal adódik a hagyományos frekvencia értelmezés szerinti adat!]

A pillanatnyi értéket felhasználva, az f  idõátlag:

ahol t = átlagolási (mérési, mintavételi) idõ,
        v = valós periódus-szám [hiszen a számlálóban a teljes, összegzett (akkumulált) fázisváltozás szerepel, a nevezõben pedig az egy  periódusnak megfelelõ változás]

Az összefüggés egyrészt megmutatja, hogy f (átlag)gyakoriságú eseményeknek t idõvel kapuzott számlálása

N »f.t

mérõszámot ad, amely v-nek az egész része! Ez a "szorzat szabály" a metrikai értelmezés alapja; precízebben

f.t+ c = N,

ahol - mint az könnyen belátható - a hibakorlát: |c| < 1.

Másrészt kitûnik: a "kapuzott esemény számlálás" módszere valójában a (változó) frekvencia átlagértékét méri, mégpedig

(a) a "közvetlen" módszer az elõre rögzített t = t 0 kapuidõ(mérési idõ) alatti átlagot (hiszen az így akkumulált érték, vagyis a mérõszám, v-nek egész része),

(b) a reciprok módszer pedig a v = n (egész)számú periódus idõtartama alatti átlagot. [Speciálisan: v = 1 választásnál mért t = T értékébõl  f = 1/T, ahogyan ezt már a kiindulásnál is láttuk! A hagyományos értelmezés szerint ez lehetne a "pillanatérték", hiszen: beszélhetünk-e frekvenciáról, ha nem zajlott le legalább egy periódus?]

Mindkét módszer "maszkolja" (elfedi) a mérési idõ alatt fellépõ frekvencia változásokat!

Ha gyors frekvencia változást kell "feltérképezni", mondjuk egy oszcillátor áthangolását [vagy például pulzus-csomag (burst) frekvenciája a mérendõ], akkor nagy gyakorisággal kell mintavételezni [vagy rövid ideig lehet csak mérni]. Azt a módszert kell tehát választani, amelyik kisebb (mérési)idõ alatt nyújt nagyobb pontosságot!

A választást segítõ legfontosabb tény: "bonyolultsága" ellenére, a reciprok módszer elõnyös az f < fkritikus frekvencia tartományban, ahol fkritikus » f0 (ez az idõmérés referencia-gyakorisága, az "órajel" frekvencia)  és  praktikusan: f0 ³ 10 MHz.  Ha ugyanis mindkét módszernél azonos (t0»nT) mérési idõt tekintünk, akkor a "közvetlen" módszer az  fkritikus  határig kisebb mérõszámot ad  (N » f.t0 < f0.nT)  és így relatív hibakorlátja (1/N) rosszabb!

(3) Reciprok módszernél - mint láttuk - a n periódus-számot elõre, a minta-vétel elõtt kell(ene) kiválasztani. Mivel az aktuális mérési idõ (= n.T) az átlagolás-szám és az ismeretlen mérendõ függvénye, "nem látható elõre", hogy teljesíthetõ-e a kívánt mérési-idõ korlát!

A dilemmát az ún. két regiszteres mérõeszköz struktúra oldja meg (1. ábra):
 
 


1. ábra

A "trükk" csupán az, hogy külön megszámláljuk az elõírt idõkorláttal behatárolt (és persze ismeretlen) periódusok számát [® n : eseményregiszter], miközben mérjük az ehhez tartozó (ismeretlen, n.T nagyságú) idõtartam mérõszámát [® Ni : idõregiszter].

Ebbõl a két adatból kell kiszámítani az  f  frekvencia értékét! Mellõzve most a mérési hibát, ha az idõt f0 referencia-gyakorisággal mérjük, akkor Ni » f0 ·nT, és ebbõl az eredmény:

f = 1/T » (n/Ni) ·f0,

tehát a két regiszter tartalmának hányadosával arányos.  [Mivel itt f < fkritikus (»f0 ), ezért n <Ni.]  A skálázás miatt külön vizsgálandó még a mért érték megjelenítés (display) feltétele.

Érdemes megjegyzi, hogy f0 = fEXT választással két ismeretlen frekvencia aránya mérhetõ.

Mivel n ³ 1 szükséges, ezért - függetlenül(!) az elõre rögzített névleges mérési-idõ korláttól - legalább n = 1 periódusnak a tartamáig kell mérni! A technikai megvalósítás kézenfekvõ: egyszerûen

az elõírt idõkorlát kezdõ(start)-idõpontját követõ elsõ jel-eseménytõl kezdve kell regisztrálni és mérni egészen a záró(stop)-idõpontot követõ jel-eseményig.
Az eljárás tehát a gyakorlatban általános aszinkron idõkorlát - jel viszonynál is "mûködik"!
A lehetséges n (³ 1, egész) periódus-szám ilymódon automatikusan "igazodik" a felhasználó által megszabott mérési-idõ korláthoz. Ahogyan ezt a gyártók jellemezik: az eszköz "okos"(smart), csak a mérési idõ beállítást igényli.

A hányados ("reciprok") képzésénél elvileg ugyan nincs szóhossz (azaz felbontás) korlát, azonban a számított érték névleges relatív felbontása  (DfREC /f) nem lehet jobb annál, mint amilyen magának a mérésnek a relatív felbontása  (1 / Ni)  volt. (Emlékezzünk a méréstechnika hibaszámítási szabályára: reciprok képzésnél változatlanul "terjed" a relatív hiba.)
Ezért a

D fREC / f ³ 1 / Ni [» 1 / ( f0 ·t )]

kötést kell betartani (ahol t = n.T a mérési idõ), másszóval az eredmény mértékegysége

lehet. A mérési(mintavételi) idõ is determinálja tehát az elérhetõ felbontást!

Ha például f0 = 10 MHz = 107 Hz, akkor ez "7 digit/sec"felbontásnak felel meg. Az összefüggés az ilyen típusú eszközök adatlapján "felfedezhetõ"!

(4)  A fenti kapcsolat arra is rávilágít, hogy további "finomításhoz" az idõmérés felbontása javítandó: az f0 órajel frekvencia "effektív" értékét kell megnövelni. (4) Ebben játszik kulcs-szerepet az interpoláció.

Az f0 referencia közvetlen növelése (a "nyers erõszak" módszere) ugyanis hamar technikai korlátba ütközik. Ha pedig a  D T = 1 / f0  felbontás (az "idõalap") nem javítható, akkor meghatározó az idõhibák (ts £D T,  te£D T) szerepe (2. ábra).

Ha viszont ezek értékét ismernénk(!), akkor a

t + te = ts + Ni·D T

összefüggés alapján "pontosítható" lenne a hagyományosan mért (t» Ni·DT) érték.

2. ábra

A hatásos idõfelbontás-növelés módja tehát az idõhiba korrekció (TEC: Time Error Correction). Ehhez meg kell mérni(!) az idõhibák nagyságát.

Például olymódon, hogy K-szoros idõnyújtással tesszük mérhetõvé azokat (ún. analóg interpoláció). (5) Az idõnyújtás elve: ts [ illetve  te ] tartamáig Io árammal töltve egy kapacitást, annak Io / K áramú kisütési idõtartama: K.ts  [ illetve K.te ]. Ez a "nagy" idõtartam pedig már hagyományosan módon, az  f0 = 1 / D T órajellel mérhetõ! Eltekintve most a nyújtás és a mérés hibájától (6) : a korrekciós mérõszám (K.ts) / DT » Ns  [ illetve (K.te) / D T » Ne ] értékû.

Az így kapott három mért adatból számítható a pontosabb idõmérés eredménye

t » (K· Ni + Ns -Ne)·Dt , ahol   Dt = DT/K,

azaz K-szor jobb felbontású az interpolációval végzett idõmérés, és ennek megfelelõen javul a reciprok módszer felbontása is.

Természetesen, a nyújtások (7)analóg mûvelete a "kritikus láncszem" K növelésénél. A pontosság megtartása (automatikus) kalibrálás beépítését igényli. (A korrekciós mérõszámok meghatározása pedig növeli az egyes frekvencia mérések közötti "holt idõt").

Hatásában, az interpoláció

f0EQU = K·f0 (= 1/Dt )

értékû "effektív (virtuális)" órajellel történõ hagyományos idõméréssel ekvivalens!

Ha például f0 = 10 MHz és K = 100, akkor f0EQU = 1 GHz = 109 Hz, ez pedig "9 digit/sec" felbontásnak felel meg. Itt van a válasz a kiinduló kérdésre.

Már láttuk, hogy a reciprok módszer mérési tartománya f <fkritikus és itt  fkritikus»f0EQU, a módszer alkalmazását tehát az interpoláció beépítése gyakorlatilag a teljes, közvetlenül-számlálhatófrekvencia tartományra kiterjeszti!
 

Végül, érdemes még egyszer hangsúlyozni, hogy a counter/timer mérõeszköz nem frekvencia-szelektív. Az ismétlõdõ (repetitív) jel alapfrekvenciáját méri; pontosabban: az eszköz jelkondícionáló egysége által generált események - meghatározott idõ alatti - (átlag)gyakoriságát. Döntõ tehát a mérési követelményeknek megfelelõ(!) esemény-generálás,de ez már egy másik történet.
 

Pápay Zsolt
e-mail: papay@hit.bme.hu
________________

(1) Kell-e ilyen HiRes (High Resolution) képesség? Gondoljunk pl. arra, hogy 10-4 sec mérési idõnél már csak 1:105, azaz 5 digit(számjegy) a névleges felbontás! (Ez a méréstechnika jól ismert ellentmondása: "gyakoribb mérés - rosszabb felbontás".)

(2) Nota bene: "A számlálás a mérés paradigmája".

(3) Történelmileg ez a lépés az FM (frekvencia modulációs) technika kifejlesztéséhez kapcsolódik (1937). Az idõben vátozó frekvencia jellemzésének további általánosításával a cikk nem foglalkozik.

(4) Szerencsére, a nagyfelbontású idõmérés "önmagában" is kritikus probléma, megoldásának eredménye itt is hasznosítható.

(5) Az idõhibának a korrekcióhoz szükséges mérõszáma más módszerrel is elõállítható, pl. "nóniusz-elv" alapján: nagypontosságú és indított(!) oszcillátor felhasználásával (ún. digitális interpoláció).

(6) Csak a struktúrát vizsgáljuk, és nem cél a hibaelemzés.

(7) "Nulla" értékû idõhiba fellépése azzal az egyszerû fogással kerülhetõ el, hogy mindkét idõhiba nyújtásba egy(vagy több) referencia (= órajel periódus) nagyságot is "beveszünk", ezek a korrekciónál automatikusan kiesnek.


  |  Hertz  | ELEKTROnet